МЕТАФИЛОСОФИЯ

История математики уходит в глубины веков. Поскольку математика в метасистемной философии (МСФ) трактуется как методология измерения философии, полезно проследить как методология развивалась вместе с философией. Как именно возникло самое главное понятие финитной математики - число. Первоначальные потребности человека (а, следовательно, и его философии) были просты. Ничего удивительного в этом нет. Количество пищи, земли, богатства, денег всегда было связано с благосостоянием людей. Понятие числа оказалось очень удобным для оценки и сравнения всего этого. Более того, в понятии "число" трудно найти какой-либо иной смысл, чем "количество в его чистом виде". И это простейшее измерение бытия, а именно понятие числового континуума, легло в основу простейшей математики. В нем нет абсолютно никаких намеков на те конкретные объекты, к которым такую количественную оценку можно применить. Поэтому понятие "число" оказалось полезным и при описании новых предметов и явлений, с которыми сталкивалось человечество в ходе своего развития.

Но по мере развития тезауруса человечества (в том числе и научного) эта абстрактность числа, его "оторванность" от какого-либо конкретного физического содержания, сыгравшая важную роль и в развитии самой финитной  математики (ведь для того чтобы исследовать математические свойства чисел, нужна - по большому счету - лишь светлая голова) исчерпав все его возможности, довела  финитную математику до логического кризиса.

Большинство самых серьезных проблем финитной  математики связано с грандиозной загадкой науки – описание жизни на Земле. Финитные (точные)  математические методы оказались малопригодны для вывода формул, описывающих живое вещество. И проблемы эти стали продолжением достоинств основного понятия математики - числа. Та самая оторванность числа от реального физического содержания, которая помогла развитию математики, теперь сыграла злую шутку. Мостики между математическими абстракциями и реальностью оказались настолько тонкими и зыбкими, что пройти по ним удается немногим. В чем же корень зла? Как сблизить математику и реальность, сохранив при этом и точность первой, и все живое многообразие окружающего нас мира?

Ответ почти очевиден: надо заменить то самое зерно, из которого выросла математика. То есть заменить ее основной объект - число, сделав его более реальным, более "вещественным". И попробовать вырастить новое дерево, используя те же приемы и методы, которые человечество добыло и многократно использовало все той же финитной математике. В частности,  использовать математический аппарат для такого "выращивания" под названием  «теорией алгоритмов».

Аппарат теории алгоритмов позволяет работать не только с числами, но и с объектами любой другой природы. Например, это могут быть некие аналоги атомов или молекул, или просто кубики пространства, или что-либо еще. Важно лишь правильно выбрать исходный набор элементов, из которых вы собираетесь строить свои конструкции. И четко определить операции над ними.

Так вот в обосновании этого «правильного» и заложен алгоритм обоснования самой математики. Адекватная формализация самой математики в МСФ, позволяет адекватно формализовать и самое Метаматематику и все  частные финитные математики в системе аксиом Метаматематики. Подобно тому как в финитной математике определяются операции сложения, вычитания, сравнения, умножения и т.д. в метасистемной философии из видов всего двух арифметических операций: «декомпозиции» (получения из сложного – простого) и «композиции» (получения из простых – сложного) получается некий набор "первичных" (базовых) арифметических операций и правил игры с ними. Говоря языком МСФ – генерируется формальная метанулевая  математика в составе Метаматематика. А дальше происходят весьма любопытные вещи.

Оказалось, что многие теоремы формальной Метаматематики имеют глубокий философский смысл! Впрочем, неожиданным это не было. Ведь формальная Метаматематика по определению имеет дело с реальными вещами, в отличие от финитной  математики. И то, что законы этого более реального мира имеют философский смысл, вполне закономерно.

Далее - быстро выяснилось, что различные метанулевые математики легко разделяются на четыре большие группы. Самая простая из них нулевая математика не представляет интереса, поскольку в ней невозможно получить что-либо новое. Следующая по сложности, названная креативной, позволяет это делать конечное число раз. Самыми интересными оказались две последние группы: бесконечно-креативных и эволюционных математик. В бесконечно-креативных математиках новые объекты можно получать бесконечно. В эволюционных, кроме того, можно еще и определять новизну таких объектов средствами самой математики. Так вот – финитная математика оказалась в группе бесконечно-креативных математик. Причем из всех возможных - самой простой! Практически в любой другой бесконечно-креативной  математики можно выделить ее часть, равную по своей выразительности  финитной математике. С другой стороны - практически все используемые человеком реальные математики также попадают в эту группу.

Этот факт хорошо объясняет, почему финитная  математика успешно используется во всех "человеческих" технологиях. С одной стороны - она сходна со всеми такими математиками. С другой - самая простая из них и, следовательно, самая комфортная в повседневном применении. Выражаясь языком самой математики, она позволяет однонаправленно (гомоморфно) отображать законы реальных математик в финитных  математических формулах. Но только однонаправленно! То есть от реальной математики - к  финитной математике. Обратное отображение неоднозначно и требует большой аккуратности. Иначе не избежать ошибок. Которых, как мы знаем, в истории науки было немало.

Намного шире пропасть между бесконечно-креативными и эволюционными математиками. Проведенный анализ показывает, что последние устроены в несколько тысяч раз сложнее, чем первые. Отсюда и почти полное бессилие  финитной математики при описании эволюционных процессов. Метаматиматика позволяет преодолеть эти трудности. Разработанные в ней модели биоподобных технологий оказались очень похожими на то, что существует в природе. Но самым поразительным фактом оказалась скорость эволюции. Выяснилось, что в некоторых случаях она может полностью видоизменить систему из десятков тысяч элементов за несколько лет. При этом новая система будет, естественно, намного лучше и эффективнее старой. Поэтому нет ничего удивительного ни в совершенстве и многообразии жизни, ни в самом факте ее появления. Все это - с точки зрения эволюционных  математик - вполне закономерно.

Метаматематика дает возможность адекватно  исследовать процессы познания. Многие хорошо известные теоремы финитной  математики приобрели в ее свете совершенно иной смысл. Так, теорема Минского о вычислительной машине с двумя счетчиками оказалась теоремой о необходимости памяти в процессах познания. Знаменитый тезис Черча стал утверждать принципиальную разрешимость всех корректных технических задач. А "неудобные" случайные процессы оказались как раз очень удобными для многих познавательных алгоритмов. В том числе и для тех, которые реализуются Природой, более того, именно случайность гарантирует их полноценность, их достоверность. Подтвердился и вред каких-либо запретов на познавательную деятельность. Во многих случаях они оказались просто малоэффективными. И во всех случаях - тормозили развитие (эволюцию) системы. Более того, в ходе доказательства ряда теорем выяснилось, что в познании следует опираться на нечто, что мы привыкли называть свободой воли, свободой выбора!

В заключение - любопытный исторический факт. На то, что существующая математика - еще не вся математика, впервые обратил внимание Александр Богданов. Тот самый, которого Ленин очень выразительно критиковал за его философские взгляды.